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L'escargot au fond du puit
Un escargot est au fond d'un puits qui mesure 12 mètres de hauteur. Il veut en sortir et grimpe de 3 mètres chaque jour, mais il s'arrête la nuit pour se reposer et glisse de deux mètres.
Combien lui faut-il de jours pour sortir du puits ?
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La solution de l'énigme L'escargot au fond du puit :
Il lui faut 10 jours et non pas 12, car quand il arrive au sommet du puits le 10° jour, il sort sans attendre de redescendre pendant la nuit.
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Les bons comptes font les bons amis
Si nous avons chacun la même somme d'argent, combien dois-je vous donner afin que vous ayez 10F de plus que moi ?
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La solution de l'énigme Les bons comptes font les bons amis :
Beaucoup ont du répondre 10 FF mais la réponse est :
5 FF
exemple : j'ai 50 F, vous 50 FF aussi, je vous donne 5 F, j'ai maintenant 45 F (50-5=45) et vous 55 F (50+5=55) d'ou 55-45=10, j'ai donc 10 F de plus que vous à présent !
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Petite rallonge
Supposons qu'un câble est tendu sur la terre, à l'emplacement de l'équateur (pour la commodité du problème, on suppose que la terre est exactement lisse et sphérique, et on estime la longueur de l'équateur à 40000 kilomètres).
On ajoute alors un mètre de longueur aux 40000 kilomètres du câble, et on tend celui-ci, de façon à ce qu'il ait à nouveau une forme parfaitement circulaire.
A quelle hauteur se trouve-t-il du sol ?
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La solution de l'énigme Petite rallonge :
Notons R le rayon de la terre; chacun sait depuis l'école primaire que la longueur L de l'équateur (et donc du câble) est égale à 2 Pi R. On ajoute un mètre au câble et on lui redonne une forme circulaire. Le rayon de ce nouveau cercle est donc R'=R+r, la valeur r correspondant à la hauteur du sol à laquelle se trouve le câble.
Comme la nouvelle longueur est L+1, on a: 2 Pi (R+r) = L + 1 donc 2 Pi r = 1.
Le câble se trouve à une hauteur r=1/(2Pi) c'est à dire approximativement 16 cm.
Cette petite énigme est fascinante à deux titres. D'abord, parce qu'il est intuitivement surprenant qu'un ajout dérisoire de 1m à un câble de 40000 kilomètres provoque une telle augmentation de la hauteur par rapport au sol. D'autre part, parce que résultat est totalement universel, c'est à dire que la forme purement circulaire de l'équateur et sa longueur importante ne changent rien au phénomène. Un lecteur du Guardian s'interrogeait sur la différence de longueur entre la voie extérieure et la voie intérieure du périphérique londonien. Comme le périphérique de Londres est assez long (environ 200kms), la réponse selon laquelle les deux voies ne diffèrent que d'environ 60 mètres de longueur a tout pour étonner ! En fait, le résultat aurait été le même si le périphérique avait été 10 fois plus long, ou davantage biscornu: la forme et la longueur de la courbe ne changent rien, seul l'écart entre les deux courbes parallèles intervient dans la différence de longueur. Pour plus de détails, ne manquez pas de lire les "Visions mathématiques" du mensuel Pour la Science numéro 169 (novembre 1991).
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Roger rame sur la rivière
Roger habite près d'une rivière qui en hiver a un assez fort courant alors qu'il est quasi nul en été.
En hiver, Roger met
2 heures pour descendre le courant jusqu'à un certain point
et 3 heures pour remonter contre le courant à son point de départ.
Combien mettra-t-il de temps en été pour faire le même parcours (aller ou retour)?
(On suppose évidemment qu'il rame toujours à la même allure.)
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La solution de l'énigme Roger rame sur la rivière :
Deux heures et 24 minutes.
Explication:
distance = vitesse * temps
d = distance parcourue
V = vitesse à laquelle Roger rame
v = vitesse du courant de la rivière en hiver
ta = temps pour le parcours aller en hiver, avec le courant
tr = temps pour le parcours retour en hiver, contre le courant
te = temps pour le parcours en été, en eau calme (identique pour l'aller et le retour)
1 On calcule d'abord les vitesses relatives de Roger ramant en eau calme et du courant de la rivière en hiver.
d = (V+v) * ta = (V-v) * tr
(V+v) * 2 = (V-v) * 3
2V + 2v = 3V - 3v
V = 5v
Roger rame donc cinq fois plus vite que le courant.
2 On calcule ensuite la distance parcourue (identique dans les deux sens, bien sûr).
On supposera que la vitesse du courant de la rivière est égale à x km/h...
d = (V+v) * ta = (5x +1x) * 2 = 12x km
d = (V-v) * tr = (5x - 1x) * 3 = 12x km
Roger rame donc sur une distance de 12x km dans chaque sens.
3 On calcule le temps nécessaire pour parcourir la distance en été.
d = V * te = 5x km/h * te
12x km = 5x km/h * te
te = 12x km / 5x km/h = 12/5 h = 2,4 h = 2 h 24
Roger rame alors pendant 2 h et 24 minutes dans chaque sens, en été.
(On voit que la vitesse x du courant s'annule à la fin, permettant de déterminer
le temps avec précision sans toutefois connaître la véritable distance parcourue...)
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